撰文：Ricky Li、Siddharth Lalwani、 Hongxu Yan，就职于 Altonomy Ventures
自动做市商机制（AMM），以其常数级别的时间空间占用的优势，被许多去中心化交易所（DEX）采用，迄今为止已有许多此类项目大获成功。说到其中佼佼者，必须要提到 Uniswap、Balancer 和 Curve，它们都在近期推出了新的版本， 以针对流动性提供者所关注的各种问题和风险。 本文将会从多个方面对这三个协议的最新版本做出比较。
定价模型和不变式
参与到自动做市商机制中的人群，包括两种不同的角色：流动性提供者（LP）和交易者。流动性提供者向机枪池存入资金，而交易者用一种货币从池中换取另一种代币。AMM 协议需要解决的第一个问题就是如何定价，以一个二币池为例，即如何用代币 2(t2) 的数量表示代币 1(t1) 的价格。
假设池中两种货币的数量分别为 R1 和 R2，在一笔交易中一个交易者想用Δ2 数量的 t2 来买Δ1 数量的 t1。我们可以用一个交易函数ψ来描述一个 AMM 协议，其必须满足在交易前后函数值不变，不变式表示为：
根据这个等式，我们就可以由Δ1 推出Δ2 （或反之）。而这笔交易同时也会影响价格，因为池中的代币总量在交易之后改变了。实际上，因为机枪池的交易价格和外部参考市场的价格有差距，所以套利者会不断交易知道价差回归，AMM 正是利用这种机制来矫正池内的交易价格。每次交易的平均价格定义为：
当 dΔ1->0 时，我们可以计算得到边际价格。 三种协议的边际价格总结如下表
Table 1 边际价格
Uniswap V3
Uniswap 的交易函数定义如下：
由此可得不变式为：
推导出Δ2 的表达式为：
边际价格为：
当 Δ1->0 时，
在新版本 V3 中，由于在不同价格区间的流动性密度不同，需要对每个同一流动性密度的小区间单独计算。当跨过区间边界时，需要的下一个区间做类似计算。
Balancer V2
Balancer 的交易函数定义如下：
由此可得不变式为：
推导出Δ2 的表达式为：
边际价格为：
当 Δ1->0 时，
权重ω1，ω2 也代表两种代币总市值的占比，如果指定ω1=ω2=1/2，那么该池就等价于 Uniswap 的池子。
特别的，Balancer 允许至多 8 种代币的混合池，当代币种类大于两种时，其交易函数扩展为：
其他推导步骤也可类似地拓展到多币的情形，推导步骤在此略过。
Curve V2
Curve 协议的交易函数是恒定和函数和恒定积函数的线性组合：
类似的，我们可以推导出边际价格，当 Δ1->0 时，
价格影响和滑点
根据上一步得出的边际价格公式，我们可以通过比较单次交易前后边际价格的变化，来定义这次交易的价格影响。比较三种协议的价格影响，我们能得出以下结论：假定交易同等数量的代币 1，设定ω1 越高的 Balancer 池，其价格影响越大，如果ω1>1/2，那么价格影响大于相同交易在 Uniswap 池中的影响，反之亦然。而在平衡点附近（即价格偏移不严重） Curve V2 的价格影响最小。
在下面的例子中，我们比较四个不同池子的单次交易价格影响，假设初始池中代币总量 R1=R2=10000：
一个 Uniswap V3 池，初始价格为 1
一个 Balancer V2 池，ω1=0.4,ω2=0.6，初始价格为 0.666
一个 Balancer V2 池，ω1=0.6,ω2=0.4，初始价格为 1.5
一个 Curve V2 池，α=1,β=3，初始价格为 1
四个池子的价格影响曲线如下图所示：
Figure 1 价格影响曲线
明显的，对于交易相同数量 Δ1 的代币 1，对价格的影响排序如下：Balancer V2 w1=0.6 > Uniswap V3 > Balancer V2 w1=0.4 > Curve V2。
对于 Curve 来说，因为其在一定范围内价格影响最小，所以最适合稳定币的交易对。根据以往 AMM 协议的经验，价格影响曲线的形状往往和流动性提供者的收益相关。距上图所示，因为 Curve 的价格影响曲线最平缓，导致滑点较低，从而使交易者在这个区间中更频繁地（或更大量）交易，最终流动性提供者赚取了更多的交易手续费。
无常损失
Table 2 无常损失
对于 Uniswap V3 来说，来自单一提供者的流动性是被放置在某一封闭区间上的，当一种代币的价格下降时，LP 对该种代币的风险敞口逐渐增大，直到价格来到区间边界。此时，该 LP 只有对该种代币的风险敞口，对另一种代币的敞口为 0，若价格继续往同方向移动，则敞口维持不变。
对于 Balancer V2 和 Curve V2 来说，流动性是对整个价格区间提供的，所以敞口会在整个区间上逐渐变化，不会到达最大 / 最小值。
Figure 2 Balancer 池在不同权重配置下的相对价格变化对无常损失影响
对于 Balancer 协议来说，代币 1 的权重ω1 越小，相同价格波动下的无常损失越小，这是符合直觉的，因为 LP 持有代币 1 的量变小了。
出金与入金
对于想要参与这三种协议的流动性提供者来说，它们对于出金和入金的规则比较起来并没有绝对的优劣，不过根据个人的资产类别和风险偏好，每个协议都有更适合的情形：
Table 3 出金与入金
对于 Uniswap V3 来说，入金时存入两种代币的配比由两点因素决定（1）区间的两个边界 （2）当前交易价格。 简单来说，如果当前交易价格等于两个边界价格的几何平均数的话，LP 需存入 50:50 等量的两种代币。若当前价格更偏向一侧，那么 LP 需要存入的代币中，更便宜的那种代币占据更高的比重。若当前价格在区间之外，LP 只需提供更便宜的一种代币即可。
具体计算方法如下：
当出金时，两种代币的本金提取量可做类似计算。已赚取的手续费部分，以交易发生时的代币类型收取并提取。
对于 Balancer V2，LP 入金时总是需要提供池中所有种类的代币，其配比决定与该池的权重设置
对于 Curve，当入金时，LP 可以按任意比例存入代币，或仅存入单一种类的代币。但是，若存入比例和当前池内的代币总量比例不符合，LP 将承受一定程度的损失（或奖励）。因为当 LP 获取 LP 代币时，获得的量由以下公式计算：
其中 D 是在平衡点时池内代币总量，在流动性增加前其值为 D0，在流动性增加后其值变为 D1。但是，（假设投入相同数量的代币）当池内代币比例离平衡点越远，D 值会相对越小，导致 LP 得到的 LP 代币量较少，即产生了损失。相反的，若投入的代币使得池内代币比例趋向于回归平衡点，那么 LP 将得到更多的 LP 代币，即获得了奖励。
流动性聚集
就流动性聚集来说，Uniswap V3 给予了 LP 最大程度的灵活性，LP 们可以根据自己的意愿聚合出任意形式的流动性分布曲线。相较之下，Balancer 和 Curve 以更多的固定参数设定代替了这种灵活性。
Table 4 流动性聚集方式
Uniswap V3 允许每个 LP 设置任意的流动性范围，以期望总体流动性聚集在一个最活跃的区间。但是，理论上，根据每个 LP 的自主决定，流动性可以被塑造成任意分布。
举例来说，一个和 Uniswap V2 等效的流动性分布入下图所示：
Figure 3 流动性分布 Uniswap V2
这表示，若所有的 LP 都将流动性区间设置为最大可能区间，那么 Uniswap V3 池将会同 V2 等效。
以下是一个和 Curve 近似的流动性分布，所有的流动性都聚集在平衡点附近的一个狭小区间内
Figure 4 流动性分布 Curve
然而，上图仅仅是 Curve V3 的近似，其实际要更复杂。随着市场条件变化，最活跃价格区间偏离原平衡点太多时，Curve V3 会根据内置 Orcale 来重新调整平衡点和价格曲线。
以下是一个等效于 Balancer V2 的流动性分布，其聚集于更大权重的代币价格更低的一侧
Figure 5 流动性分布 Balancer V2
然而，以上都不是实际观察到的 Uniswap V3 池常见流动性分布，常见的分布更类似于以下：
Figure 6 实际观察到的流动性分布 Uniswap V3
交易费用
Table 5 交易费用
Uniswap V3
每个交易对有三个费用梯度的池子供 LP 选择：0.05%，0.3%，1%。直观上看，LP 更偏向于高费用池，但当高费用池的交易活跃度远低于低费用池时，LP 就不得不参与低费用池。交易者更偏向低费用池，但当低费用池的流动性过于稀薄而滑点过高时，交易者就会被迫从高费用池中交易。
根据实际观察，对于稳定币交易对来说，0.05% 费用的池子最活跃。对于其他交易对，当市场波动率高时，高费用池变得更活跃，当波动率低时，低费用池更活跃。
Balancer V2
Balancer 协议收取两种费用：（1）交易手续费，以交易额的一定百分比对交易者收取 （2）出金费用，当 LP 从协议中出金时按提取额度收取
交易手续费可设置为 0.05% 到 1% 之间，由池子创建者设置初始值，并由协议根据多因子来动态调整，因子包括：波动率，交易额，无常损失，流动性总量，流动性挖矿奖励，等等。
出金手续费可由协议设置，但迄今为止未采用。
Curve V2
费用可设置为 0.04% 到 0.4% 之间，可根据目前池内代币比例做动态调整，当前比例距离平衡点越远，费用率越低：
结论
通过多方面的比较，可以看出每个协议都采取的不同的方法来契合 LP 和交易者们的多方面不同需要。
Uniswap V3 给予了 LP 最大的灵活性，几乎所有参数都可以由 LP 自主决定，而团队并没有额外加入更多辅助特性，以保持协议的简单化。而 LP 则需要管理自己的各种风险。
Curve 历史上曾专注于稳定币交易对，此新版本 V2 致力于扩展所涵盖代币的种类。不同于稳定币，非稳定币交易对的市场中价可能会偏移到新的活跃区间，所以此协议可根据内置 Oracle 的喂价调整流动性聚集范围，而无需 LP 自己重部署流动性区间。此种设计对个人投资者更加友好，但限制了开发更复杂的定制化做市策略的可能性。
Balancer V2 在同一流动性池中容纳了多于两种的代币，并且赋予不同的权重，这满足了一部分 LP 差别对待不同种代币风险敞口的需求。通过增加一侧风险波动的方式，来降低另一侧的风险。
引用文献
[1] G. Angeris, A. Evans, T. Chitra; When does the tail wag the dog? Curvature and market making, 2020.
[2] Hayden Adams, Noah Zinsmeister, Moody Salem, River Keefer, and Dan Robinson. Uniswap v3 Core. (2021).
[3] Michael Egorov, Curve Finance (Swiss Stake GmbH). Automatic market-making with dynamic peg (2021)
[4] Fernando Martinelli, Nikolai Mushegian. Balancer Whitepaper (2019)
